上昇下落を交互に繰り返す場合

レバレッジ型ETFとインバース型ETFは、対象となる株価が上昇下降を繰り返しながら推移するとき、パフォーマンスが劣化していくという点について具体的に説明しましょう。

今、たとえば日経がある日に5%上昇し、次の日に6%下落したとします。すると、日経の日々のリターンの2倍の値動きを取るETFと、-1倍の値動きを取るETFの値動きは次の図のようになります。

日経が5%上昇し、次の日に6%下落した場合、この間の日経のリターンは(1+0.05)x(1-0.06)=0.987ですから、1.3%の下落となります。一方、2倍型ETFの場合は、5%の2倍で10%上昇し、次の日に6%の2倍の12%の下落となりますから、この間のリターンは3.2%の下落となります。

また、-1倍型ETFの場合は、5%下落した後に6%上昇するので、0.7%の上昇となります。さて、この2日間のリターンを比較してみると、日経が1.3%下落したのに対して、2倍型ETFのリターンは、その2倍である2.6%程度の下落率となっていてほしいところですが、それより0.6%も悪い3.2%もの下落率となっています。

また、-1倍型ETFは、日経の1.3%の下落に対して1.3%程度上昇してほしいところですが、これまたそれより0.6%悪い0.7%しか上昇していません。つまり、2倍型ETF、-1倍型ETFともに、この期間のリターンは期待したいパフォーマンスよりも0.6%悪化しています。実はこれは仕方ないことです。というのも、レバレッジ型、インバース型は「日々のリターン」が対象資産の2倍や-1倍となるように設計されているのであって、一定期間におけるパフォーマンスのレバレッジは保証できないからです。ちょっとだけ数式を使って見てみましょう。初日のリターンをA、次の日のリターンをBとします。

初日に上昇したら次の日には下落、反対に、初日に下落したら次の日には上昇するとき、AとBをかけたときの符号はマイナスになるわけですからAB<0となります。さて、2日間における対象資産のリターンは

対象資産:(1A)x(1B)-1=ABAB

となります。

一方、2倍型ETF、-1倍型ETFの期間リターンはそれぞれ、

2倍型:(12A)x(12B)-1=2A2B4AB

-1倍型:(1-A)x(1-B)-1=-A-BAB

となります。

これらを、それぞれ対象資産のリターンの2倍、-1倍と比べてみましょう。対象資産のリターンの2倍は2A2B2ABですから、これから2倍型ETFのリターンを引くと(2A2B2AB)-(2A2B4AB)=-2ABとなりますが、AB<0ですから、これは常にプラスの値をとります。

つまり、2倍型ETFのリターンは対象資産のリターンの2倍よりも悪いことを意味します。次に、対象資産のリターンの-1倍と-1倍型ETFのリターンを比較してみましょう。対象資産のリターンの-1倍は-A-B-ABですから、これから-1倍型ETFのリターンを引くと(-A-B-AB)-(-A-BAB)=-2ABですから、さきほどの2倍型ETFの場合とまったく同じ値になります。当然AB<0ですから、これも常にプラスの値をとります。つまり、-1倍型ETFのリターンは対象資産のリターンの-1倍よりも悪いことを意味します。

そして、面白いことに、2倍型ETFも-1倍型ETFもまったく同じ分だけ悪化しているのです。AがプラスでBがマイナスであっても、AがマイナスでBがプラスであっても同じことですから、上昇が先でも下落が先でも関係ありません。またAとBがどんなに大きい値であろうが小さな値であろうが関係ありません。さらに、2倍と-1倍に限らず、3倍であろうが-2倍であろうがパフォーマンスが悪化することが計算してみると分かります。

     

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